표본분산과 비례하는 통계량 W

1. 표본분산과 비례하는 통계량 W

 

통계량 $V$는 데이터에서 모평균 $\mu $를 뺀 값을 이용하지만, 표본분산 $s^{2} $은 데이터에서 표본평균 $\overline{x} $를 빼 편차를 계산한다. 그러면 $V$는 카이제곱분포를 하는 통계량이 되는데, 여기서 모평균 $\mu $ 대신 표본평균 $\overline{x}$를 사용하여 제곱한 값들을 더하면, 카이제곱 분포를 따르는 성질이 완전히 사라질까?

 

결론적으로, 약간의 변경만으로도 카이제곱 분포의 성질은 유지된다. 모평균 $\mu $를 표본평균 $\overline{x} $로 대체하여 $W= (\frac{ x_{1}-  \overline{x} }{ \sigma } )^{2} +(\frac{ x_{2}- \overline{x} }{ \sigma } )^{2} + \ldots (\frac{ x_{n}- \overline{x} }{ \sigma } )^{2}$이라는 $V$와는 다른 통계량 $W$를 만들 수 있다.

 

표본분산은 $ s^{2} =\frac{ (x_{1}-\overline{x} )^{2} +  (x_{2}- \overline{x} )^{2}+ \ldots+ (x_{n}- \overline{x} )^{2}}{n} $였다. 여기서 $W$와 $s^{2} $의 분자가 일치하는 것에 주목해야 한다. 즉, $n \times  s^{2} =   \sigma ^{2}  \times W$와 같은 관계를 얻을 수 있다. 요약하면, $W$는 표본분산 $s^{2} $에 비례하는 통계량이 된다.

 

 

2. 표본분산의 카이제곱분포는 자유도가 하나 낮은 수

 

통계량 $W$도 카이제곱분포를 따른다는 것이 증명되었다. 다만, 자유도는 데이터 수에서 1을 뺀 값이라는 점이 $V$와의 차이점이다.

 

즉, 모평균 $\mu $, 모표준편차 $\sigma $인 정규모집단에서 n개의 표본 $x_{1},  x_{2}, \ldots ,x_{n}$을 관측하고, $W= (\frac{ x_{1}-  \overline{x}}{ \sigma } )^{2} +(\frac{ x_{2}- \overline{x} }{ \sigma } )^{2} + \ldots (\frac{ x_{n}- \overline{x} }{ \sigma } )^{2} $이라는 형태로 $W$를 계산하면 통계량 $W$는 자유도 n-1인 카이제곱분포를 한다.

 

다시 말해, 모평균 $\mu $, 모표준편차 $\sigma $인 정규모집단에서 n개의 표본을 관측하여 계산한 표본분산을 $s^{2} $이라고 할 때, $W = \frac{s^{2}  \times n}{\sigma ^{2}} $를 만들면 통계량 $W$는 자유도 n-1인 카이제곱분포를 따른다.

 

 

3. 예제

 

정규모집단에서 관측된 표본이 2, 6, 8, 10, 14이다. 이때 통계량 $W$를 계산하고 이 데이터가 따르는 분포를 밝히시오.

 

해답 및 해설

• $\overline{x}= \frac{2+6+8+10+14}{5} = 8$
• $s^{2} = \frac{ (-6)^{2} +(-2)^{2}+(0)^{2}+(2)^{2}+(6)^{2}}{5} = \frac{80}{5}=16$

따라서, $W =  \frac{ n \times s^{2} }{  \sigma ^{2}} = \frac{5 \times 16}{  \sigma ^{2}} $이고 통계량 $W$는 자유도가 4인 카이제곱분포를 따른다.